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Résumés de la journée d’étude consacrée à l’astronomie et aux mathématiques de l’Inde ancienne

Organisée le 24 avril 2009 par le Centre Altaïr et l’Association Belge d’Indologie, avec l’aide du FNRS et de la Fondation Wiener-Anspach.


Astronomy and Mathematics in Ancient India

Astronomie et mathématiques de l’Inde ancienne


Resume des communications – Summary of the papers



R. Mercier : The Reality of Indian Astronomy


Since the beginning of the interest among European scholars in Indian astronomy there has been a dispute about its antiquity in general, and the age of certain texts in particular. This has not been helped by exaggerated claims by Indian scholars. Thirty years ago there was a profound investigation by the French Sanskritist Roger Billard, who presented results that ought to have settled the main features of the history. His work however was much disputed in some quarters, not least by the American scholar David Pingree. In this talk I will review Billard’s approach, and demonstrate the strength of his claims. All of his results have been recomputed, and revised where appropriate.

At the heart of the dispute about Billard’s work is the question as to whether the parameters of the Indian canons such as that of Āryabhaţa (ca A.D. 500) were based on observations made by him, or merely inherited from Greek sources. This question will be discussed in detail.



J.M. Delire : Entre astronomie et mathématiques, les découvertes  indiennes en  trigonométrie : la construction des tables de sinus


Depuis le Pauliśasiddhānta, tel que Varāhamihira le résume dans son Pañcasiddhāntika (VIe siècle), les astronomes indiens utilisent les sinus plutôt que les cordes et établissent des tables de sinus pour les arcs multiples de 3°45’. Contrairement au Pauliśasiddhānta, Āryabhaţa (VIe siècle) présente une table de différences de sinus assortie d’une formule de récurrence qu’il n’explique pas, ni son commentateur Bhāskara (629). Pour obtenir une « preuve » (upapatti) de la validité de cette formule, il faut attendre les astronomes du Kérala (XIV-XVIe siècles), qui donneront de nombreux upapatti de résultats trigonométriques. Nous verrons en particulier comment Nīlakaņţha (1444-c.1545) et Jyeşţhadeva (c.1500-1610) établissent la formule d’Āryabhaţa et décrivent une méthode d’interpolation des sinus et cosinus d’arcs non tabulés équivalente à la formule de Taylor.



P.-S. Filliozat : Mathematiques et scolastique dans l’Inde médiévale, l’exemple du Haricarita de Parameśvara Bhaţţa


Le Haricarita se présente par son titre « La geste de Hari » comme une composition en vers sur un sujet de mythologie vişņuite. Et c'est bien ce qu'il est, dans une première lecture : un résumé du Chant X du Bhāgavata Purāņa consacré à l'enfance de Kŗşņa. Dans une seconde lecture on reconnait au début de chaque strophe un des 248 vākyas de Vararuci. Ces derniers sont des groupes de quatre à six syllabes notant des nombres, en l'occurrence des positions de la lune au cours d'une période de 248 jours représentant un cycle complet de ses fluctuations de longitude par rapport à une moyenne. Une méthode de calcul permet de prédire quotidiennement la position de la lune sur la base de ces vākyas. Cette double destination, astronomique et dévotionnelle repose sur un exercice de grande virtuosité littéraire : combiner une information astronomique avec une composition de poésie dévotionnelle. Pour rendre justice à ce texte il faut présenter son contenu astronomique, sa méthode de composition, sa valeur poétique et son inspiration religieuse.



S.R. Sarma : Indian  Astronomical Instruments in Belgium


Astronomical and time-measuring instruments constitute an important source for the reconstruction of the history of astronomy of any culture.  Finding no documentation on the extant Indian instruments, I embarked on an exploration of museums and private collections about twenty years ago and located some 450 specimens in India, Europe and the US. In this connection, I had the opportunity of studying ten instruments in different private and public collections in Belgium in February 1996. In this lecture, I shall describe these specimens, their history and importance.  Special attention will be paid to two instruments, for these are the earliest known extant specimens of their kind, viz. a Sanskrit astrolabe made in 1605 in Gujarat and a Dhruvabhrama-yantra crafted in 1785 in Rajasthan.



Ch. Minkowski : Sanskrit Astronomers and the Mughals


In the sixteenth and seventeeth centuries, learned Brahmins were present at the Mughal court, in a variety of roles. Some came from Banaras only as visitors, representing the collective world of Sanskritic learning; others were attached to Mughal courtiers such as Khān Khānān, Asaf Khān, and Todar Mal; still others served as scribal service personnel in Akbar and Dārā Shikūh’s translation projects. This paper will focus especially on the ‘exact scientists’ who were appointed as ‘resident’ astronomers or astrologers, and who composed works in Sanskrit that engaged with the traditions of the exact sciences that were communicated in Arabic and Persian. Figures to be discussed include Nīlakaņţha, author of the Tājikanīlakaņţhī and his brother Rāmā, author of the Muhūrtacintāmaņi, as well as Nityānanda, who translated the Persian Zīj i Shāh Jahān into Sanskrit as the Siddhāntasindhu, and later wrote a further apologetic work, the Sarvasiddhāntarāja, which argued for the incorporation of some astronomical techniques, models and parameters from the ‘yavanas’ or ‘romakas’.



K. Ramasubramanian : Evolution of Planetary Models : Āryabhaţa to Nīlakaņţha


Though at least from the time of Āryabhaţa (499 AD), the Indian astronomers have been employing precise analytical expressions for finding the longitudes and latitudes of the planets, there was an error in the application of `manda-sařskara' (`equation of centre' correction) for the interior planets. Nīlakaņţha (c.1500 AD) seems to be the first savant in the history of astronomy to have clearly derived from the computational scheme, and not from any speculative or cosmological argument, the correct application of equation of centre correction for Mercury and Venus. Besides tracing the development of planetary models in the Indian tradition, during our presentation, we would also discuss the transmission hypothesis that has been proposed and maintained by the indologists for over a century and a half.



F. Patte : Rythmes et algorithmes, le génie mathématique indien


En lisant les traités de prosodie indienne de Pińgala, Chandaģsūtra, ou de Kedara, Vŗttaratnākara, ou des traités de musique comme le Sařgītaratnākara de Śārńgadeva, on rencontre des joyaux de cet art de l’algorithme que les mathématiciens indiens ont développé pour les calculs et les résolutions d’équations. Par exemple, le chapitre six du Vŗttaratnākara de Kedara est consacré à une étude exhaustive des combinaisons possibles de syllabes longues ou brèves pour produire un mètre de longueur donnée. Au chapitre quatre du Sařgītaratnākara, on trouve une étude, non moins exhaustive, sur la manière de combiner quatre unités de temps élémentaires dans une mesure musicale.

Il y a, par exemple, seize manières d’obtenir un mètre de quatre syllabes en combinant des alternances de longues et de brèves. On a dix-neuf possibilités pour construire une mesure musicale d’une durée de six croches en combinant croches, noires, blanches et blanche pointée ; la construction de toutes ces possibilités est appelée prastāra dans les traités sanskrits.

On essaiera de présenter, en s’appuyant sur les traités musicaux, les algorithmes élaborés par les paņďits indiens pour établir ces prastāra dont la construction implique une grande habileté mathématique permettant d’autres utilisations comme le dénombrement à l’aide de formules de récurrence (sařkhyā), l’établissement du modèle rythmique connaissant son rang dans le prastāra (naşţa), ou, réciproquement, la détermination du rang d’un modèle donné (uddişţa).



K. Mahesh & R.V.Pai : Turning an Algebraic Expression into an Infinite Series


Turning a finite expression into an infinite series is indeed one of the brilliant accomplishments of the human intellect. Generally Newton is considered to be the pioneer who opened up the gate for others to enter into this bizarre arena that seems to have given an impetus to the advancement of science and technology. However, if one were to historically track the foremost amongst the mathematicians who worked in this area, it turns out that the contributions of Kerala mathematicians between fourteenth and sixteenth centuries are indeed remarkable. During the presentation, we illustrate this by considering a typical example from the work Kriyākramakarī, an elaborate commentary on Līlāvatī of Bhāskarācārya, by Śańkara Vāriyar (c. 1534 AD).